この記事では，時空上の異なる2点におけるベクトル場の変化の度合いを求めるために必要な平行移動という概念を導入する．
目次
平行移動の必要性
物理量を表すベクトルやテンソルは，時空上の場として導入される．
そして，ある時空点から別の時空点へ移動するとき，その値がどのように変化するのかを考えたい．
つまり，ベクトルやテンソルに対する共変的な微分を求めたい．
素朴に反変ベクトル $A^{\mu}(x)$ の偏微分を考えると，
\begin{align}
\partial’_{\mu}A’^{\nu}(x’)
&=\frac{\partial}{\partial x’^{\mu}}A’^{\nu}(x’)\notag\\
&=\frac{\partial x^{\rho}}{\partial x’^{\mu}}\frac{\partial}{\partial x^{\rho}}\left(\frac{\partial x’^{\nu}}{\partial x^{\sigma}}A^{\sigma}(x)\right)\notag\\
&=\frac{\partial x^{\rho}}{\partial x’^{\mu}}\frac{\partial x’^{\nu}}{\partial x^{\sigma}}\frac{\partial A^{\sigma}(x)}{\partial x^{\rho}}+\frac{\partial x^{\rho}}{\partial x’^{\mu}}\frac{\partial^2x’^{\nu}}{\partial x^{\rho}x^{\sigma}}A^{\sigma}(x)\notag\\
&=\frac{\partial x^{\rho}}{\partial x’^{\mu}}\frac{\partial x’^{\nu}}{\partial x^{\sigma}}\partial_{\rho}A^{\sigma}(x)+\frac{\partial x^{\rho}}{\partial x’^{\mu}}\frac{\partial^2x’^{\nu}}{\partial x^{\rho}x^{\sigma}}A^{\sigma}(x).
\label{pA}
\end{align}
第1項は $(1,1)$ 型テンソルとしての変換則そのものであるが，余分な第2項があるので，全体としては $(1,1)$ 型テンソルの変換をしていない．
これは曲がった時空において、無限小離れた2つの時空点でのベクトルの値をそのまま比較することに幾何学的意味がないことの現れである．
ベクトルの値は座標系に依存すること & 一般に曲がった時空では、時空の各点に異なる座標系を取ることを踏まえれば納得できるはずです
よって，無限小離れた異なる時空点におけるベクトルやテンソルを比較する座標不変な方法が必要で，これが平行移動である．
平行移動の定義
任意の時空点 $x^{\mu}$ におけるベクトル場 $A^{\mu}(x)$ と，そこから無限小だけ離れた時空点 $x^{\mu}+\delta x^{\mu}$ におけるベクトル場 $A^{\mu}(x+\delta x)$ を考える．
座標 $x^{\mu}+\delta x^{\mu}$において，ベクトル場 $A^{\mu}(x)$ に平行なベクトル場 $\tilde{A}^{\mu}(x+\delta x)$ を定義したい．
$\delta x^{\mu}$ が無限小なので，$\tilde{A}^{\mu}(x+\delta x)$ と $A^{\mu}(x)$ の差は，$A^{\mu}(x)$ と $\delta x^{\mu}$ に線形に依存すると考えられる．
よって，無限小の平行移動を以下で定義する．
無限小の平行移動
\begin{align}
\tilde{A}^{\mu}(x+\delta x)=A^{\mu}(x)-\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}(x)A^{\nu}(x)\delta x^{\rho}.
\label{pt}
\end{align}
ここで，$\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}(x)$ は接続である．
この時点では，接続は任意の量である．
平行移動が満たすべき条件
しかし，平坦な空間における平行移動（高校で習うベクトルの平行移動）の概念と矛盾しないことが必要である．
そこで，平行移動によってベクトルの内積が不変となることを要請することで，接続に対する条件を定める．
この要請は、ベクトルの大きさと2つのベクトルのなす角が不変に保たれるということです
平行移動の前後で任意のベクトル $A^{\mu}(x), B^{\mu}(x)$ の内積が不変であることを数式でかくと，
\begin{align}
g_{\mu\nu}(x)A^{\mu}(x)B^{\nu}(x)=g_{\mu\nu}(x+\delta x)\tilde{A}^{\mu}(x+\delta x)\tilde{B}^{\nu}(x+\delta x)
\label{ptreq}
\end{align}
となる．
この要請から，接続に対して次の条件が課せられる．
接続が満たす条件
\begin{align}
\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)-\Gamma_{\mu\rho}^{\sigma}(x)g_{\sigma\nu}(x)-\Gamma_{\nu\rho}^{\sigma}(x)g_{\mu\sigma}(x)=0.
\end{align}
接続が満たす条件の導出（クリックすると開きます）
\eqref{ptreq} の右辺を計算すると，
\begin{align}
&g_{\mu\nu}(x+\delta x)\tilde{A}^{\mu}(x+\delta x)\tilde{B}^{\nu}(x+\delta x)\notag\\
=&(g_{\mu\nu}(x)+\delta x^{\rho}\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)+\mathcal{O}((\delta x)^2))(A^{\mu}(x)-\Gamma^{\mu}_{\sigma\lambda}(x)A^{\sigma}(x)\delta x^{\lambda})(B^{\nu}(x)-\Gamma^{\nu}_{\tau\upsilon}(x)B^{\tau}(x)\delta x^{\upsilon})\notag\\
=&g_{\mu\nu}(x)A^{\mu}(x)B^{\nu}(x)+\delta x^{\rho}\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)A^{\mu}(x)B^{\nu}(x)-g_{\mu\nu}(x)\Gamma^{\mu}_{\sigma\lambda}(x)A^{\sigma}(x)\delta x^{\lambda}B^{\nu}(x)-g_{\mu\nu}(x)A^{\mu}(x)\Gamma^{\nu}_{\tau\upsilon}(x)B^{\tau}(x)\delta x^{\upsilon}+\mathcal{O}((\delta x)^2)\notag\\
=&g_{\mu\nu}(x)A^{\mu}(x)B^{\nu}(x)+\delta x^{\rho}\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)A^{\mu}(x)B^{\nu}(x)-g_{\sigma\nu}(x)\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}(x)A^{\mu}(x)\delta x^{\rho}B^{\nu}(x)-g_{\mu\sigma}(x)A^{\mu}(x)\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}(x)B^{\nu}(x)\delta x^{\rho}+\mathcal{O}((\delta x)^2)\notag\\
=&g_{\mu\nu}(x)A^{\mu}(x)B^{\nu}(x)+(\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)-\Gamma_{\mu\rho}^{\sigma}(x)g_{\sigma\nu}(x)-\Gamma_{\nu\rho}^{\sigma}(x)g_{\mu\sigma}(x))A^{\mu}(x)B^{\nu}(x)\delta x^{\rho}+\mathcal{O}((\delta x)^2)
\label{cal}
\end{align}
となる．
1つ目の等号では，$g_{\mu\nu}(x+\delta x)$ を $x^{\mu}$ まわりで Taylor 展開し，平行移動の定義 \eqref{pt} を代入した．
2つ目の等号では，$\delta x^{\mu}$ の1次までを残して展開した．
3つ目の等号では，第3項と第4項のダミー添字を付け替えた．
4つ目の等号では，$\delta x^{\mu}$ の1次の項を $A^{\mu}(x)B^{\nu}(x)\delta x^{\rho}$ でくくった．
\eqref{ptreq} の右辺に \eqref{cal} の結果を代入すると，0次の項はキャンセルするので，
\begin{align}
(\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)-\Gamma_{\mu\rho}^{\sigma}(x)g_{\sigma\nu}(x)-\Gamma_{\nu\rho}^{\sigma}(x)g_{\mu\sigma}(x))A^{\mu}(x)B^{\nu}(x)\delta x^{\rho}=0
\end{align}
となる．
$A^{\mu}(x), B^{\nu}(x), \delta x^{\rho}$ は任意なので，
\begin{align}
\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)-\Gamma_{\mu\rho}^{\sigma}(x)g_{\sigma\nu}(x)-\Gamma_{\nu\rho}^{\sigma}(x)g_{\mu\sigma}(x)=0
\end{align}
が得られる．
