この記事では，共変ベクトルの共変微分を導出する．
共変ベクトルの共変微分
\begin{align}
\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
=\partial_{\mu}B_{\nu}(x)-\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)B_{\rho}(x).
\end{align}
目次
反変ベクトルの共変微分
反変ベクトル \(A^{\mu}(x)\) に対する共変微分は以下で定義される：
\begin{align}
\nabla_{\mu}A^{\nu}(x)=\partial_{\mu}A^{\nu}(x)+\Gamma_{\mu\rho}^{\nu}(x)A^{\rho}(x).
\label{covariantderivative}
\end{align}
これを用いて，共変ベクトル \(B_{\mu}(x)\) に対する共変微分を導出する．
共変ベクトルの共変微分
共変ベクトル \(B_{\mu}(x)\) に対する共変微分を導出するために，共変微分が Leibniz 則を満たすことを条件として課す．
すなわち，
\begin{align}
\nabla_{\mu}(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x))
=&\nabla_{\mu}A^{\nu}(x)B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
\end{align}
を要請する．
このとき，\eqref{covariantderivative}を用いると，
\begin{align}
\nabla_{\mu}(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x))
=&\nabla_{\mu}A^{\nu}(x)B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)\notag\\
=&(\partial_{\mu}A^{\nu}(x)+\Gamma_{\mu\rho}^{\nu}(x)A^{\rho}(x))B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
\label{1}
\end{align}
となる．
一方で，\(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x)\) はスカラーなので，共変微分は偏微分となる．
これはスカラーが向きをもたず，その変化分が時空の曲がり具合に依存しないことのあらわれである．
これを用いると，
\begin{align}
\nabla_{\mu}(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x))
=&\partial_{\mu}(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x))\notag\\
=&\partial_{\mu}A^{\nu}(x)B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\partial_{\mu}B_{\nu}(x).
\label{2}
\end{align}
\eqref{1}と\eqref{2}を比較すると，
\begin{align}
A^{\nu}(x)\partial_{\mu}B_{\nu}(x)
=&\Gamma_{\mu\rho}^{\nu}(x)A^{\rho}(x)B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)\notag\\
=&\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)A^{\nu}(x)B_{\rho}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)\notag\\
=&A^{\nu}(x)(\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)B_{\rho}(x)+\nabla_{\mu}B_{\nu}(x))
\end{align}
が得られる．
\(A^{\nu}(x)\) は任意なので，
\begin{align}
\partial_{\mu}B_{\nu}(x)
=\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)B_{\rho}(x)+\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
\end{align}
となる．
よって，
\begin{align}
\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
=\partial_{\mu}B_{\nu}(x)-\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)B_{\rho}(x)
\end{align}
が得られる．
反変ベクトルの共変微分では Christoffel 記号を含む項の符号がプラスだが，共変ベクトルの共変微分ではマイナスになる．