この記事では，最小作用の原理を用いて、Einstein 方程式を導出する．
目次
Einstein 方程式を導く作用
Einstein 方程式を導く作用として，次のような作用を考える．
\begin{align}
S&=S_{\text{E-H}}+S_{\rm M},\\
S_{\text{E-H}}&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}R,\\
S_{\rm M}&=\sum_{\rm fields}\int d^4x\sqrt{-g}\mathcal{L}_{\rm fields}.
\end{align}
ここで，$S_{\text{E-H}}$ は重力を表す Einstein-Hilbert 作用であり，$S_{\rm M}$ は（物質場の運動項や相互作用項を含む）物質に対する作用である．
また．$G$ は万有引力定数，$g=\det g_{\mu\nu}$ である．
この作用に対して最小作用の原理を用いることで，Einstein 方程式を導出する．
Einstein 方程式
\begin{align}
G_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}.
\end{align}
変分の計算
この作用を $g^{\mu\nu}$ について変分する．
Einstein-Hilbert 作用の部分
まず，$S_{\text{E-H}}$ の変分を考える．
\begin{align}
\delta S_{\text{E-H}}
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x(\delta\sqrt{-g}R+\sqrt{-g}\delta R)\notag\\
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x(\delta\sqrt{-g}R+\sqrt{-g}R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}).
\label{deltaseh}
\end{align}
第2項は $\delta g^{\mu\nu}$ に比例しているので，これ以上変形する必要はない．
第1項の $\delta\sqrt{-g}$ を $\delta g^{\mu\nu}$ に比例する形に変形する．
$g_{\mu\nu}$ は $\mu,\nu$ の入れ替えに関して対称であるから，線形代数の定理により，次の形に対角化可能である：
\begin{align}
g_{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
g_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & g_1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & g_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & g_3 \\
\end{pmatrix}.
\end{align}
これを用いると，
\begin{align}
\ln g
&=\ln{({\rm det}g_{\mu\nu})}\notag\\
&=\ln(g_0g_1g_2g_3)\notag\\
&=\sum_{i=0}^3\ln{g_i}\notag\\
&={\rm tr}\,(\ln{g_{\mu\nu}}).
\end{align}
この式の変分をとると，
\begin{align}
\frac{1}{g}\delta g=g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
\end{align}
が得られる．
これより，
\begin{align}
\delta\sqrt{-g}
&=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g\notag\\
&=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}g g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\notag\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\notag\\
&=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}.
\end{align}
最後の等号では，$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=\delta^\mu_\mu=4$ の両辺の変分より，
\begin{align}
g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
\end{align}
が成り立つことを用いた．
次に，\eqref{deltaseh} の第3項の $\delta R_{\mu\nu}$ について考える．
これは以下のように変形できる．
\begin{align}
\delta R_{\mu\nu}
&=\delta R^{\lambda}{}_{\mu\lambda\nu}\notag\\
&=\delta(\partial_\lambda\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\partial_\nu\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}+\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}\Gamma^\rho_{\mu\nu}-\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\Gamma^\rho_{\mu\lambda})\notag\\
&=\partial_\lambda\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\partial_\nu\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}+\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu}+\Gamma^\rho_{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}-\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\delta\Gamma^\rho_{\mu\lambda}-\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\delta\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\notag\\
&=\partial_\lambda\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\partial_\nu\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}+\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu}+\Gamma^\rho_{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}-\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\delta\Gamma^\rho_{\mu\lambda}-\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\delta\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\notag+\underset{=0}{\underline{\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\rho}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\rho}}}\\
&=\nabla_\lambda(\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu})-\nabla_\nu(\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}).
\end{align}
よって，\eqref{deltaseh} の第3項は，
\begin{align}
&\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}\notag\\
=&\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\left[\nabla_\lambda(\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu})-\nabla_\nu(\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda})\right]\notag\\
=&\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}\left[\nabla_\lambda(g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu})-\nabla_\nu(g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda})\right].
\end{align}
Stokes の定理より，この積分は無限遠方での境界の寄与に書き換えることができる．
無限遠方における境界条件 $\delta\Gamma^\mu_{\nu\rho}=0$ により，その項からの寄与はゼロになる．
ここまでの計算をまとめると，
\begin{align}
\delta S_{\text{E-H}}
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}\left(-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+R_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}\notag\\
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}G_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}.
\end{align}
物質場に対する作用の部分
次に，物質場に対する作用の変分を考える．
$S_{\rm M}$ の変分は，汎関数微分を用いて，
\begin{align}
\delta S_{\rm M}=\int d^4x\frac{\delta S_{\rm M}}{\delta g^{\mu\nu}}\delta g^{\mu\nu}.
\end{align}
ここで，エネルギー運動量テンソル $T_{\mu\nu}$ を以下で定義する：
\begin{align}
T_{\mu\nu}=\frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\rm M}}{\delta g^{\mu\nu}}.
\end{align}
この定義から明らかに，$T_{\mu\nu}=T_{\nu\mu}$ である．
エネルギー運動量テンソルを用いると，物質場に対する作用の変分は，
\begin{align}
\delta S_{\rm M}=-\frac{1}{2}\int d^4x\sqrt{-g}T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
\end{align}
となる．
最小作用の原理から Einstein 方程式の導出
以上の計算をまとめると，作用の変分は，
\begin{align}
\delta S
&=\delta S_{\text{E-H}}+\delta S_{\rm M}\notag\\
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}G_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}-\frac{1}{2}\int d^4x\sqrt{-g}T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\notag\\
&=\frac{1}{2}\int d^4x\sqrt{-g}\left(
\frac{1}{8\pi G}G_{\mu\nu}-T_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}
\end{align}
となる．
$\delta g^{\mu\nu}$ は任意なので，最小作用の原理 $\delta S=0$ より，Einstein 方程式
\begin{align}
G_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}
\end{align}
が得られる．