この記事では、最小作用の原理を用いて、Einstein 方程式を導出する。
目次
Einstein 方程式を導く作用
Einstein 方程式を導く作用として、次のような作用を考える。
\begin{align}
S&=S_{\text{E-H}}+S_{\rm M},\\
S_{\text{E-H}}&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}R,\\
S_{\rm M}&=\sum_{\rm fields}\int d^4x\sqrt{-g}\mathcal{L}_{\rm fields}.
\end{align}
ここで、$S_{\text{E-H}}$ は重力を表す Einstein-Hilbert 作用であり、$S_{\rm M}$ は（物質場の運動項や相互作用項を含む）物質に対する作用である。
また、$G$は万有引力定数、$g=\det g_{\mu\nu}$である。
この作用に対して最小作用の原理を用いて、Einstein 方程式を導出する。
Einstein 方程式
\begin{align}
G_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}
\end{align}
変分の計算
この作用を $g^{\mu\nu}$ について変分する。
Einstein-Hilbert 作用の部分
まず、$S_{\text{E-H}}$の変分を考える。
\begin{align}
\delta S_{\text{E-H}}
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x(\delta\sqrt{-g}R+\sqrt{-g}\delta R)\notag\\
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x(\delta\sqrt{-g}R+\sqrt{-g}R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}+\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}).
\label{deltaseh}
\end{align}
第2項は $\delta g^{\mu\nu}$ に比例しているので、これ以上変形する必要はない。
第1項の $\delta\sqrt{-g}$ を $\delta g^{\mu\nu}$ に比例する形に変形する。
$g_{\mu\nu}$ は $\mu,\nu$ の入れ替えに関して対称であるから、線形代数の知識により、次の形に対角化可能である：
\begin{align}
g_{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
g_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & g_1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & g_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & g_3 \\
\end{pmatrix}.
\end{align}
これを用いると、
\begin{align}
\ln g
&=\ln{({\rm det}g_{\mu\nu})}\notag\\
&=\ln(g_0g_1g_2g_3)\notag\\
&=\sum_{i=0}^3\ln{g_i}\notag\\
&={\rm tr}\,(\ln{g_{\mu\nu}}).
\end{align}
この式の変分をとると、
\begin{align}
\frac{1}{g}\delta g=g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
\end{align}
が得られる。
これより、
\begin{align}
\delta\sqrt{-g}
&=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g\notag\\
&=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}g g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\notag\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\notag\\
&=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}.
\end{align}
最後の等号では、$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=\delta^\mu_\mu=4$ の両辺の変分より、
\begin{align}
g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
\end{align}
が成り立つことを用いた。
次に、\eqref{deltaseh} の第3項の $\delta R_{\mu\nu}$ について考える。
これは以下のように変形できる。
\begin{align}
\delta R_{\mu\nu}
&=\delta R^{\lambda}{}_{\mu\lambda\nu}\notag\\
&=\delta(\partial_\lambda\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\partial_\nu\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}+\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}\Gamma^\rho_{\mu\nu}-\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\Gamma^\rho_{\mu\lambda})\notag\\
&=\partial_\lambda\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\partial_\nu\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}+\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu}+\Gamma^\rho_{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}-\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\delta\Gamma^\rho_{\mu\lambda}-\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\delta\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\notag\\
&=\partial_\lambda\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\partial_\nu\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}+\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu}+\Gamma^\rho_{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\lambda\rho}-\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\delta\Gamma^\rho_{\mu\lambda}-\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\delta\Gamma^\lambda_{\nu\rho}\notag+\underset{=0}{\underline{\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\rho}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\rho}}}\\
&=\nabla_\lambda(\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu})-\nabla_\nu(\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}).
\end{align}
よって、\eqref{deltaseh} の第3項は、
\begin{align}
&\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}\notag\\
=&\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\left[\nabla_\lambda(\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu})-\nabla_\nu(\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda})\right]\notag\\
=&\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}\left[\nabla_\lambda(g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu})-\nabla_\nu(g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda})\right].
\end{align}
Stokes の定理より、この積分は無限遠方での境界の寄与に書き換えることができる。
無限遠方における境界条件 $\delta\Gamma^\mu_{\nu\rho}=0$ により、その項からの寄与はゼロになる。
以上をまとめると、
\begin{align}
\delta S_{\text{E-H}}
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}\left(-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+R_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}\notag\\
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}G_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}.
\end{align}
物質場に対する作用の部分
次に、物質場に対する作用の変分を考える。
$S_{\rm M}$ の変分は、汎関数微分を用いて、
\begin{align}
\delta S_{\rm M}=\int d^4x\frac{\delta S_{\rm M}}{\delta g^{\mu\nu}}\delta g^{\mu\nu}.
\end{align}
ここで、エネルギー運動量テンソル $T_{\mu\nu}$ を以下で定義する：
\begin{align}
T_{\mu\nu}=\frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\rm M}}{\delta g^{\mu\nu}}.
\end{align}
この定義から明らかに、$T_{\mu\nu}=T_{\nu\mu}$ である。
エネルギー運動量テンソルを用いると、物質場に対する作用の変分は、
\begin{align}
\delta S_{\rm M}=-\frac{1}{2}\int d^4x\sqrt{-g}T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
\end{align}
とかける。
最小作用の原理から Einstein 方程式の導出
これまでの計算をまとめると、作用の変分は、
\begin{align}
\delta S
&=\delta S_{\text{E-H}}+\delta S_{\rm M}\notag\\
&=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}G_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}-\frac{1}{2}\int d^4x\sqrt{-g}T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\notag\\
&=\frac{1}{2}\int d^4x\sqrt{-g}\left(
\frac{1}{8\pi G}G_{\mu\nu}-T_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}
\end{align}
となる。
$\delta g^{\mu\nu}$ は任意なので、最小作用の原理 $\delta S=0$ より、
\begin{align}
G_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}
\end{align}
が得られる。
