この記事では、共変ベクトルの共変微分を導出する。
共変ベクトルの共変微分
\begin{align}
\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
=\partial_{\mu}B_{\nu}(x)-\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)B_{\rho}(x)
\end{align}
目次
反変ベクトルの共変微分
反変ベクトル \(A^{\mu}(x)\) に対する共変微分は以下で定義される：
\begin{align}
\nabla_{\mu}A^{\nu}(x)=\partial_{\mu}A^{\nu}(x)+\Gamma_{\mu\rho}^{\nu}(x)A^{\rho}(x).
\label{covariantderivative}
\end{align}
これを用いて、共変ベクトル \(B_{\mu}(x)\) に対する共変微分を導出する。
共変ベクトルの共変微分
共変ベクトル \(B_{\mu}(x)\) に対する共変微分を導出するために、次の条件を課す。
すなわち、
\begin{align}
\nabla_{\mu}(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x))
=&\nabla_{\mu}A^{\nu}(x)B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
\end{align}
を要請する。
このとき、\eqref{covariantderivative}を用いると、
\begin{align}
\nabla_{\mu}(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x))
=&\nabla_{\mu}A^{\nu}(x)B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)\notag\\
=&(\partial_{\mu}A^{\nu}(x)+\Gamma_{\mu\rho}^{\nu}(x)A^{\rho}(x))B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
\label{1}
\end{align}
となる。
一方で、\(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x)\) はスカラーなので、共変微分は偏微分となる。
スカラーは向きを持たないので、その変化分は時空が曲がり具合に依存しないはずです
これを用いると、
\begin{align}
\nabla_{\mu}(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x))
=&\partial_{\mu}(A^{\nu}(x)B_{\nu}(x))\notag\\
=&\partial_{\mu}A^{\nu}(x)B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\partial_{\mu}B_{\nu}(x).
\label{2}
\end{align}
\eqref{1}と\eqref{2}を比較すると、
\begin{align}
A^{\nu}(x)\partial_{\mu}B_{\nu}(x)
=&\Gamma_{\mu\rho}^{\nu}(x)A^{\rho}(x)B_{\nu}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)\notag\\
=&\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)A^{\nu}(x)B_{\rho}(x)+A^{\nu}(x)\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)\notag\\
=&A^{\nu}(x)(\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)B_{\rho}(x)+\nabla_{\mu}B_{\nu}(x))
\end{align}
が得られる。
\(A^{\nu}(x)\) は任意なので、
\begin{align}
\partial_{\mu}B_{\nu}(x)
=\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)B_{\rho}(x)+\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
\end{align}
となる。
よって、
\begin{align}
\nabla_{\mu}B_{\nu}(x)
=\partial_{\mu}B_{\nu}(x)-\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)B_{\rho}(x)
\end{align}
が得られる。
反変ベクトルの共変微分では Christoffel 記号を含む項の符号がプラスですが、共変ベクトルの共変微分ではマイナスになります！
