この記事では，捩率条件を満たす対称な接続が計量によって一意的に表されることを示す．
このような接続を Christoffel 記号という．
Christoffel 記号
\begin{align}
\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)=\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}(x)(\partial_{\mu}g_{\nu\sigma}(x)+\partial_{\nu}g_{\sigma\mu}(x)-\partial_{\sigma}g_{\mu\nu}(x)).
\end{align}
目次
捩率条件
曲がった時空においても局所的に平坦な座標系を取ることができるという等価原理から，接続に捩率条件を課すことができる．
捩率条件
\begin{align}
\Gamma_{[\mu\nu]}^{\rho}(x)=0
\end{align}
捩率条件を満たす接続は，計量を用いて一意的に表すことができる．
Christoffel 記号
ベクトルの内積が平行移動の前後で保存されるという要請から，接続は次の条件を満たす．
接続が満たす条件
\begin{align}
\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)-\Gamma_{\mu\rho}^{\sigma}(x)g_{\sigma\nu}(x)-\Gamma_{\nu\rho}^{\sigma}(x)g_{\mu\sigma}(x)=0
\label{transcondition}
\end{align}
この導出はこちらを参照ください．
\eqref{transcondition} の添字 $\mu, \nu, \rho$ をサイクリックに（$\mu\to\nu\to\rho\to\mu$ と）入れ替えた式を考える．
\begin{align}
\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)-\Gamma_{\mu\rho}^{\sigma}(x)g_{\sigma\nu}(x)-\Gamma_{\nu\rho}^{\sigma}(x)g_{\mu\sigma}(x)&=0,\label{1}\\
\partial_{\mu}g_{\nu\rho}(x)-\Gamma_{\nu\mu}^{\sigma}(x)g_{\sigma\rho}(x)-\Gamma_{\rho\mu}^{\sigma}(x)g_{\nu\sigma}(x)&=0,\label{2}\\
\partial_{\nu}g_{\rho\mu}(x)-\Gamma_{\rho\nu}^{\sigma}(x)g_{\sigma\mu}(x)-\Gamma_{\mu\nu}^{\sigma}(x)g_{\mu\sigma}(x)&=0.\label{3}
\end{align}
\eqref{1}$+$\eqref{2}$-$\eqref{3}を考えて，計量の対称性 $g_{\mu\nu}(x)=g_{\nu\mu}(x)$ と捩率条件 $\Gamma_{[\mu\nu]}^{\rho}(x)=0$ を用いると，
\begin{align}
\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)+\partial_{\mu}g_{\nu\rho}(x)-\partial_{\nu}g_{\rho\mu}(x)-2\Gamma_{\mu\rho}^{\sigma}(x)g_{\sigma\nu}(x)=0
\end{align}
となる．
$g_{\sigma\nu}(x)$ の逆行列を両辺に作用させて，接続について解くと，
\begin{align}
\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}(x)=\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}(x)(\partial_{\mu}g_{\nu\sigma}(x)+\partial_{\nu}g_{\sigma\mu}(x)-\partial_{\sigma}g_{\mu\nu}(x))
\label{christoffel}
\end{align}
が得られる．
ここで最終的な表式がきれいになるように，ダミー添字を付け替えた．
\eqref{christoffel} を Christoffel 記号という．
接続が Christoffel 記号で与えられる空間を Riemann 空間という．