MENU
  1. ホーム
  2. 物理学
  3. 力学
  4. 【力学】Hookeの法則と単振動

【力学】Hookeの法則と単振動

力学
目次

Hooke の法則

バネの一端を固定し，他端に質点をつけて横向きに置きます．

外力が働いていないときのバネの長さを自然長と言います．

バネをそこから引き延ばしたり押し縮めたりすると，バネは自然長に戻ろうとします．

この自然長に戻ろうとする力を復元力と言います．

Hooke は，

バネの伸び（縮み）が小さいとき，この復元力が自然長からの変位 $x$ に比例する

ことを発見しました．

これを Hooke の法則と言います．

すなわち，バネによる復元力 $F$ は，$k$ を正の定数として，

\begin{align} F=-kx\quad(k>0) \end{align}

と表されます．

$k$ はバネの形や素材によって決まる定数で，バネ定数と呼ばれます．

単振動

運動方程式を立てる

図のように自然長の位置に原点 $O$ を取り，右向きを $x$ 軸の正の向きに取ります．

質点が従う運動方程式は，

\begin{align} m\frac{d^2x(t)}{dt^2}=-kx(t) \end{align}

と書けます．

運動方程式を解く

$\omega^2=k/m$ とおくと，運動方程式は，

\begin{align} \frac{d^2x(t)}{dt^2}=-\omega^2x(t). \label{eom} \end{align}

複素パラメータ $lambda$ を導入して，運動方程式の解を $x(t)=e^{\lambda t}$ とおきます．

これを \eqref{eom} に代入すると，

\begin{align} \lambda^2&=-\omega^2\\ \lambda&=\pm i\omega. \end{align}

よって，一般解は，

\begin{align} x(t) =c_1e^{i\omega t}+c_2e^{-i\omega t}\quad(c_{1,2}=\mathrm{const.}) \end{align}

で与えられます．

見慣れた単振動の解の形に書き換えていきます

Euler の公式 $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ を使うと，

\begin{align} x(t) &=c_1(\cos{\omega t}+i\sin{\omega t})+c_2(\cos{(-\omega t)}+i\sin{(-\omega t)})\\ &=c_1(\cos{\omega t}+i\sin{\omega t})+c_2(\cos{\omega t}-i\sin{\omega t})\\ &=(c_1+c_2)\cos{\omega t}+i(c_1-c_2)\sin{\omega t}. \end{align}

ここで，任意定数を次のように置き換えます：

\begin{align} c_1+c_2&=a\cos\delta,\\ i(c_1-c_2)&=-a\sin\delta. \end{align}

これを使うと，

\begin{align} x(t) &=a\cos\delta\cos{\omega t}-a\sin\delta\sin{\omega t}\\ &=a\cos(\omega t+\delta) \end{align}

と書けます．

見慣れた単振動の解が得られました！

$a$ を振幅，$\omega t+\delta$ を位相，$\delta$ を初期位相と言います．

この解は原点を中心として周期的に振動する運動を表しています．

このような振動を単振動（または調和振動）と言い，単振動する系のことを調和振動子と呼びます．

運動状態が変化し，はじめてもとに戻るまでの時間を周期 $T$ と言い，

\begin{align} T=\frac{2\pi}{\omega} \end{align}

となります．

周期 $T$ の逆数を振動数 $f$ と言います：

\begin{align} f=\frac{1}{T}. \end{align}

そして，$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$ は角振動数と呼ばれます．

$\omega$ のことを振動数と呼ぶこともあるので注意が必要です！

力学
よかったらシェアしてね！

関連記事

目次