【解析力学】Poisson括弧が満たす関係式「Jacobi恒等式」の証明

2025-02-05

$(q, p, t)$ の任意関数 $f, g, h$ に対する Poisson 括弧は次の Jacobi 恒等式を満たす。

Jacobi 恒等式

\begin{array}{r} (1) & {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0 \end{array}

この記事では、Poisson 括弧の満たす関係式の一つであるこの Jacobi 恒等式を証明する。

Poisson 括弧の定義
Jacobi 恒等式の証明
まとめ

Poisson 括弧の定義

2 つの任意関数 $f = f (q, p, t), g = g (q, p, t)$ に対して、Poisson 括弧を次で定義する。

\begin{array}{r} (2) & {f, g} \equiv \sum_{i = 1}^{N} (\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}) . \end{array}

ここで、 $N$ は系の自由度である。

Jacobi 恒等式の証明

Poisson 括弧は次の Jacobi 恒等式を満たす。

Jacobi 恒等式

\begin{array}{r} (3) & {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0 \end{array}

これを証明する。

準備

まず、 $N$ 個の正準座標 $q_{i}$ と $N$ 個の正準運動量 $p_{i}$ を合わせて、 $2 N$ 個の変数 $ξ_{I}$ をつくる。

\begin{array}{r} (4) & (ξ_{1}, \dots, ξ_{N}, ξ_{N + 1}, \dots, ξ_{2 N}) = (q_{1}, \dots, q_{N}, p_{1}, \dots, p_{N}) . \end{array}

$I = 1, \dots, 2 N$ であることに注意する。（一方で、 $i = 1, \dots, N$ である。）

この変数 $ξ_{I}$ を用いると、Poisson 括弧 $(2)$ は、

\begin{array}{r} (5) & {f, g} = \sum_{I, J = 1}^{2 N} Ω_{I J} \frac{\partial f}{\partial ξ_{I}} \frac{\partial g}{\partial ξ_{J}} = Ω_{I J} \partial_{I} f \partial_{J} g \end{array}

とかける。

ここで、 $\partial_{I} \equiv \frac{\partial}{\partial ξ_{I}}$ と略記し、Einstein の規約を用いた。

また、 $Ω_{I J}$ は次で定義される量である。

\begin{array}{r} (5) & Ω_{i, N + j} = δ_{i j}, Ω_{N + i, j} = - δ_{i j}, Ω_{i, j} = Ω_{N + i, N + j} = 0 (i, j = 1, \dots, N) . \end{array}

これを行列表示すると、

\begin{array}{r} (6) & Ω = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \end{array}

で表される $2 N \times 2 N$ 行列となる。

ここで、 $0$ は $N \times N$ ゼロ行列、 $1$ は $N \times N$ 単位行列である。

証明における重要な性質として、 $Ω$ が反対称性をもつことに注意する。

\begin{array}{r} (7) & Ω_{I J} = - Ω_{J I}, Ω = - Ω^{T} . \end{array}

特に、 $N = 1$ のとき、 $(5)$ の右辺は、

\begin{aligned} Ω_{I J} \partial_{I} f \partial_{J} g \\ = & \sum_{I, J = 1}^{2} Ω_{I J} \frac{\partial f}{\partial ξ_{I}} \frac{\partial g}{\partial ξ_{J}} \\ = & Ω_{12} \frac{\partial f}{\partial ξ_{1}} \frac{\partial g}{\partial ξ_{2}} + Ω_{21} \frac{\partial f}{\partial ξ_{2}} \frac{\partial g}{\partial ξ_{1}} \\ = & \frac{\partial f}{\partial q_{1}} \frac{\partial g}{\partial p_{1}} - \frac{\partial f}{\partial p_{1}} \frac{\partial g}{\partial q_{1}} \\ (6) & = & {f, g} \end{aligned}

となり、確かに Poisson 括弧に等しいことがわかる。

本編

準備が終わったので、あとはひたすら計算するだけです！

まず、 ${f, {g, h}}$ を計算する。

\begin{aligned} {f, {g, h}} \\ = & Ω_{I J} \partial_{I} f \partial_{J} {g, h} \\ = & Ω_{I J} \partial_{I} f \partial_{J} (Ω_{K L} \partial_{K} g \partial_{L} h) \\ (7) & = & Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} f \partial_{J} \partial_{K} g \partial_{L} h + Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} f \partial_{K} g \partial_{J} \partial_{L} h . \end{aligned}

１つ目の等号では、 $f$ と ${g, h}$ の Poisson 括弧を $(5)$ を用いて書き直した。

２つ目の等号では、 ${g, h}$ を $(5)$ でかいた。

３つ目の等号では、Leibniz 則（関数の積の微分法）を用いて、 $\partial_{J}$ を $\partial_{K} g$ と $\partial_{L} h$ にそれぞれ作用させた。

Jacobi 恒等式の左辺の残りの 2 項は、この結果において $f, g, h$ を巡回置換させたものである。

よって、

\begin{aligned} {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} \\ (Y1) & = & Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} f \partial_{J} \partial_{K} g \partial_{L} h \\ (Y2) & + Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} f \partial_{K} g \partial_{J} \partial_{L} h \\ (Y3) & + Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} g \partial_{J} \partial_{K} h \partial_{L} f \\ (Y4) & + Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} g \partial_{K} h \partial_{J} \partial_{L} f \\ (Y5) & + Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} h \partial_{J} \partial_{K} f \partial_{L} g \\ (Y6) & + Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} h \partial_{K} f \partial_{J} \partial_{L} g \end{aligned}

とかける。

この右辺の各項には関数 $f, g, h$ がそれぞれ 2 階微分された項が２つずつあるので、それらを組にして考える。

つまり、(Y1) と (Y6)、(Y2) と (Y3)、(Y4) と (Y5) をそれぞれ組として考える。

結論としては、

\begin{array}{r} (8) & (Y6) = - (Y1), (Y3) = - (Y2), (Y5) = - (Y4) \end{array}

となり、Jacobi 恒等式が示される。

Jacobi 恒等式

\begin{array}{r} (9) & {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0 \end{array}

$(8)$ の計算は以下にまとめたので、必要な方のみ参照してください！

補足計算

まず、 $(Y6) = - (Y1)$ を示す。

$\begin{aligned} (Y6) & = Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} h \partial_{K} f \partial_{J} \partial_{L} g \\ = Ω_{L K} Ω_{I J} \partial_{L} h \partial_{I} f \partial_{K} \partial_{J} g \\ = - Ω_{K L} Ω_{I J} \partial_{L} h \partial_{I} f \partial_{J} \partial_{K} g \\ = - Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} f \partial_{J} \partial_{K} g \partial_{L} h \\ (10) & = - (Y1) . \end{aligned}$

2 つ目の等号では、ダミー添字の付け替え $K \to I \to L \to J \to K$ を行った。

3 つ目の等号では、 $Ω$ の反対称性と偏微分が可換であることを用いた。

4 つ目の等号は順番を整理した。

次に、 $(Y3) = - (Y2)$ を示す。

$\begin{aligned} (Y3) & = Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} g \partial_{J} \partial_{K} h \partial_{L} f \\ = Ω_{K L} Ω_{J I} \partial_{K} g \partial_{L} \partial_{J} h \partial_{I} f \\ = Ω_{K L} (- Ω_{I J}) \partial_{K} g \partial_{J} \partial_{L} h \partial_{I} f \\ = - Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} f \partial_{K} g \partial_{J} \partial_{L} h \\ (11) & = - (Y2) . \end{aligned}$

2 つ目の等号では、ダミー添字の付け替え $K \to J \to L \to I \to K$ を行った。

3, 4 つ目の等号では先ほどと同じ操作をした。

最後に、 $(Y5) = - (Y4)$ を示す。

$\begin{aligned} (Y5) & = Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} h \partial_{J} \partial_{K} f \partial_{L} g \\ = Ω_{K L} Ω_{J I} \partial_{K} h \partial_{L} \partial_{J} f \partial_{I} g \\ = Ω_{K L} (- Ω_{I J}) \partial_{K} h \partial_{J} \partial_{L} f \partial_{I} g \\ = - Ω_{I J} Ω_{K L} \partial_{I} g \partial_{K} h \partial_{J} \partial_{L} f \\ (12) & = - (Y4) . \end{aligned}$