勾配の定義と物理的意味をわかりやすく解説

2026-05-02

勾配の定義

位置 $\boldsymbol{r}$ に対して，スカラー場 $f(\boldsymbol{r})$ を考える．

$f(\boldsymbol{r})$ の全微分 $df(\boldsymbol{r})$ を次のように表す．

\begin{align} df(\boldsymbol{r}) =f(\boldsymbol{r}+d\boldsymbol{r})-f(\boldsymbol{r}) =(\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r}))\cdot d\boldsymbol{r}. \end{align}

ここに現れる $\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r})$ をスカラー場 $f(\boldsymbol{r})$ の勾配という．

また，$\boldsymbol{\nabla}$ をナブラ演算子という．

勾配を表す英単語 gradient の頭文字を使って， $\text{grad} f(\boldsymbol{r})$ と書かれることもある．

勾配はスカラー場からベクトル場をつくる演算

勾配の定義

\begin{align} df(\boldsymbol{r}) =(\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r}))\cdot d\boldsymbol{r} \end{align}

において，$df(\boldsymbol{r})$ はスカラー量， $d\boldsymbol{r}$ はベクトル量である．

$d\boldsymbol{r}$ との内積をとってスカラー量をつくるためには，勾配 $\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r})$ はベクトル量でなければならない．

したがって，勾配はスカラー場 $f(\boldsymbol{r})$ からベクトル場 $\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r})$ をつくる演算であることがわかる．

勾配の物理的意味

勾配はベクトル場であるから，その大きさと向きについて考える．

まず，向きについて考える．

$f(\boldsymbol(r))=$定数を満たす位置 $\boldsymbol{r}$ の集合を等高面と呼ぶ．

全微分を考える $d\boldsymbol{r}$ の向きを，等高面内の方向にとると，

\begin{align} df(\boldsymbol{r}) &=(\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r}))\cdot d\boldsymbol{r}\\ &=0 \end{align}

となる．

よって，$\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r})$ と $d\boldsymbol{r}$ は直交しており，$\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r})$ は等高面に対して垂直な方向を向いていることがわかる．

次に，大きさについて考える．

任意の $d\boldsymbol{r}$ に対して，$\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r})$ と $d\boldsymbol{r}$ のなす角を $\theta$ とすると，

\begin{align} df(\boldsymbol{r}) &=(\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r}))\cdot d\boldsymbol{r}\\ &=|\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r})||d\boldsymbol{r}|\cos\theta. \end{align}

特定の位置 $\boldsymbol{r}$ において，$\cos\theta=1$ のとき $df(\boldsymbol{r})$ は最大となる．

このとき，

\begin{align} |\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r})| &=\frac{df(\boldsymbol{r})}{|d\boldsymbol{r}|} \end{align}

より，勾配の大きさはスカラー場の単位距離あたりの最大増加率を表していることがわかる．

すなわち，等高面が密であればあるほど，$|\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{r})|$ は大きくなる．