物理学を学び始めると，最初にぶつかるのが数学である．
微分積分，線形代数など，さまざまな数学が登場するため，何から学べばよいのか分からなくなることが多い．
このページでは，物理学への応用を念頭におき，物理数学を最短で学べるように整理している．
上から順に進めることで，物理学を理解するための土台を無駄なく築くことができるだろう．
STEP1. スカラーとベクトル
質量や温度のように，大きさのみで表される量をスカラーと呼ぶ．
一方で，速度や力のように，大きさと向きをもつ量をベクトルと呼ぶ．
スカラーを太字でない文字 $a,b,c,\dots$ で表し，ベクトルを太字 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\dots$ で表す．
STEP2. 微分積分
微分積分は，変化の様子を扱うための数学である．
物体の運動や場の変化など，物理現象の多くは時間や空間に対して変化するため，微分積分は物理学の基礎となる．
2-1. 微分
関数 $y=f(x)$ を考える．
$x$ がわずかに変化したときの $y$ の変化率は，
で表される．
この変化を限りなく小さくしていった極限が，微分である．
微分は，「その瞬間の変化率」を表す．
物理学では，速度や加速度は微分によって定義される．
2-2. 積分
微分が「変化の速さ」を表すのに対し，積分は「量の積み重ね」を表す．
ある区間における量の総和は，小さな区間に分けて足し合わせることで求められる．
この分割を無限に細かくした極限が，積分である．
2-3. 微分と積分の関係
微分と積分は，互いに逆の関係にある．
すなわち，瞬間の変化率を足し合わせて元の量を復元する操作が積分であり，逆に，量の変化率を取り出す操作が微分である．
STEP3. 線形代数
線形代数は，ベクトルや行列を扱う数学である．
複数の量を同時に扱う際や，座標変換を考える際に重要な役割を果たす．
STEP4. ベクトル解析
ベクトル解析では，空間に分布する量（場）に関する微分積分を扱う．
STEP5. 微分方程式
微分方程式は，変化の法則を方程式として表したものである．
物理法則の多くは微分方程式として書かれ，それを解くことで現象の振る舞いを理解することができる．
参考：おすすめ参考書
自身が読んだことがある参考書の中で，特におすすめのものをいくつか紹介する．
水本久夫「微分積分学の基礎 改訂版」（培風館, 1993）
高校の微分積分の知識から，スムーズに大学レベル（偏微分や広義積分）にレベルアップできる．
図や例題が多く，きちんと手を動かしながら読み進めることで，物理学に必要な微分積分の基礎が身に付くはずだ．
齋藤正彦「線型代数学」（東京図書，2014）
定義→定理→証明→例と進んでいく形式の線形代数の教科書である．
はじめに行列を用いた具体的な計算に慣れ，そのあとで線形空間などの抽象的な議論に移行するため，初学者でも理解がしやすい構成になっている．
問題の解答が詳しいところもポイントである．
図が少ないことが唯一の欠点である．
もし本書が難しく感じる場合は，以下の本と並行して読むのが良いだろう．
長谷川浩司「線形代数 改訂版」（日本評論社，2015）
齋藤正彦「線型代数学」の欠点を補うのに，図が多く載っている本書がおすすめである．
適宜，図を書き写しながら読み進めていくことで，物理学で行列を扱う際にも，状況の理解が自然とできるようになる．
他の分野のおすすめ参考書はこちらからどうぞ．