この記事では，一様な重力のみが質点に働く場合の放物運動について扱います．
重力に加えて速度に比例した抵抗力も働く場合については，以下で扱っています．
目次
問題設定
重力加速度を $\boldsymbol{g}$ ，その大きさを $g$ とします．
質点の質量を $m$ ，時刻 $t$ における位置を $\boldsymbol{r}(t)$ ，速度を $\boldsymbol{v}(t)$ とします．
座標系は図のように取ります．
このとき，ベクトル量を次のように成分表示します：
\begin{align}
\boldsymbol{g}&=(0,-g),\\
\boldsymbol{r}(t)&=(x(t),y(t)),\\
\boldsymbol{v}(t)&=(v_x(t),v_y(t)).
\end{align}
時刻 $t=0$ における初期条件は，
\begin{align}
\boldsymbol{r}_0&=\boldsymbol{r}(0)=(x(0),y(0))=(0,0),\\
\boldsymbol{v}_0&=\boldsymbol{v}(0)=(v_x(0),v_y(0))=(v_0\cos{\varphi_0},v_0\sin{\varphi_0}).
\end{align}
問題
（1）$x$ 方向，$y$ 方向の運動方程式をそれぞれ立てよ．
（2）$x$ 方向の運動方程式を解け．
（3）$y$ 方向の運動方程式を解け．
解答
（1）$x$ 方向，$y$ 方向の運動方程式をそれぞれ立てよ．
質点に働く力は重力のみなので，運動方程式は，
\begin{align}
m\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}=m\boldsymbol{g}.
\end{align}
鉛直上向きに $y$ 軸の正の向きを取っているので，重力は，
\begin{align}
m\boldsymbol{g}=(0,-mg)
\end{align}
となります．
よって，$x$ 方向，$y$ 方向の運動方程式はそれぞれ，
\begin{align}
m\frac{dv_x(t)}{dt}&=0,\\
m\frac{dv_y(t)}{dt}&=-mg
\end{align}
となります．
（2）$x$ 方向の運動方程式を解け．
\begin{align}
m\frac{dv_x(t)}{dt}&=0
\end{align}
を解きます．
両辺を $m$ で割り， $t$ で積分すると，
\begin{align}
\int_{0}^{t}\frac{dv_x(t’)}{dt’}dt’&=0\\
v_x(t)-v_x(0)&=0.
\end{align}
初期条件 $v_x(0)=v_0\cos{\varphi_0}$ を用いると，$x$ 方向の速度は，
\begin{align}
v_x(t)=v_0\cos{\varphi_0}
\end{align}
となります．
さらに，この式の両辺を $t$ で積分すると，
\begin{align}
\int_{0}^{t}v_x(t’)dt’&=v_0\cos{\varphi_0}\int_{0}^{t}dt’\\
x(t)-x(0)&=v_0\cos{\varphi_0}t.
\end{align}
初期条件 $x(0)=0$ を用いると，$x$ 方向の位置は，
\begin{align}
x(t)=v_0\cos{\varphi_0}t
\end{align}
となります．
（3）$y$ 方向の運動方程式を解け．
\begin{align}
m\frac{dv_y(t)}{dt}&=-mg
\end{align}
を解きます．
両辺を $m$ で割り， $t$ で積分すると，
\begin{align}
\int_{0}^{t}\frac{dv_y(t’)}{dt’}dt’&=-g\int_{0}^{t}dt’\\
v_y(t)-v_y(0)&=-gt.
\end{align}
初期条件 $v_y(0)=v_0\sin{\varphi_0}$ を用いると，$y$ 方向の速度は，
\begin{align}
v_y(t)=v_0\sin{\varphi_0}-gt
\end{align}
となります．
さらに，この式の両辺を $t$ で積分すると，
\begin{align}
\int_{0}^{t}v_y(t’)dt’&=\int_{0}^{t}(v_0\sin{\varphi_0}-gt)dt’\\
y(t)-y(0)&=v_0\sin{\varphi_0}t-\frac{1}{2}gt^2.
\end{align}
初期条件 $y(0)=0$ を用いると，$y$ 方向の位置は，
\begin{align}
y(t)=v_0\sin{\varphi_0}t-\frac{1}{2}gt^2
\end{align}
となります．
