この記事では、Poisson 括弧の定義と性質についてまとめ、性質についてはその証明も与える。
Poisson 括弧の定義
\begin{align}
\{f,g\}\equiv\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)
\end{align}
Poisson 括弧の満たす性質
反対称性
\begin{align}
\{f,g\}=-\{g,f\}
\end{align}
線形性
\begin{align}
\{f,c_1g_1+c_2g_2\}=c_1\{f,g_1\}+c_2\{f,g_2\}\quad(c_{1,2}:\text{定数})
\end{align}
Leibniz 則
\begin{align}
\{f,g_1g_2\}=\{f,g_1\}g_2+g_1\{f,g_2\}
\end{align}
Jacobi 恒等式
\begin{align}
\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0
\end{align}
目次
Poisson 括弧の定義
2 つの任意関数 \(f=f(q,p,t), g=g(q,p,t)\) に対して、Poisson 括弧を次で定義する。
Poisson 括弧
\begin{align}
\{f,g\}\equiv\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)
\end{align}
ここで、\(N\) は系の自由度である。
以下では、Einstein の規約を用いることにして、和の記号 \(\sum\) を省略する。
Poisson 括弧の性質と証明
Poisson 括弧は以下の 4 つの性質をもっている。
これらについて紹介して、その証明を与える。
性質①：反対称性
Poisson 括弧は次の反対称性を満たす。
反対称性
\begin{align}
\{f,g\}=-\{g,f\}
\end{align}
反対称性の証明（クリックで開きます）
\begin{align}
&\{f,g\}\notag\\
=&\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\notag\\
=&-\left(\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i}\right)\notag\\
=&-\{g,f\}
\end{align}
性質②：線形性
Poisson 括弧は次の線形性を満たす。
線形性
\begin{align}
\{f,c_1g_1+c_2g_2\}=c_1\{f,g_1\}+c_2\{f,g_2\}\quad(c_{1,2}:\text{定数})
\end{align}
線形性の証明（クリックで開きます）
\begin{align}
&\{f,c_1g_1+c_2g_2\}\notag\\
=&\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial (c_1g_1+c_2g_2)}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial (c_1g_1+c_2g_2)}{\partial q_i}\notag\\
=&c_1\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g_1}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g_1}{\partial q_i}\right)+c_2\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g_2}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g_2}{\partial q_i}\right)\notag\\
=&c_1\{f,g_1\}+c_2\{f,g_2\}
\end{align}
性質③：Leibniz 則
Poisson 括弧は次の Leibniz 則を満たす。
Leibniz 則
\begin{align}
\{f,g_1g_2\}=\{f,g_1\}g_2+g_1\{f,g_2\}
\end{align}
Leibniz 則の証明（クリックで開きます）
\begin{align}
&\{f,g_1g_2\}\notag\\
=&\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial (g_1g_2)}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial (g_1g_2)}{\partial q_i}\notag\\
=&\frac{\partial f}{\partial q_i}\left(\frac{\partial g_1}{\partial p_i}g_2+g_1\frac{\partial g_2}{\partial p_i}\right)-\frac{\partial f}{\partial p_i}\left(\frac{\partial g_1}{\partial q_i}g_2+g_1\frac{\partial g_2}{\partial q_i}\right)\notag\\
=&\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g_1}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g_1}{\partial q_i}\right)g_2+g_1\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g_2}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g_2}{\partial q_i}\right)\notag\\
=&\{f,g_1\}g_2+g_1\{f,g_2\}
\end{align}
ここで、\(g_1,g_2\) は単なる関数なので、線形性の式は \(\{f,g_1\}g_2=g_2\{f,g_1\}\) などと書くこともできる。
しかし、Poisson 括弧は量子力学において重要な交換子という演算子と関係がある。
量子力学では、関数ではなく演算子（微分や行列）に対する演算の規則になるので、積の順番を自由に変えることができなくなる。
例えば、行列の積は一般に \(AB\neq BA\) であるということを思い出してください！
よって、関数の積の順番をむやみに変えない方が、量子力学への移行がしやすいという利点がある。
性質④：Jacobi 恒等式
Poisson 括弧は次の Jacobi 恒等式を満たす。
Jacobi 恒等式
\begin{align}
\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0
\end{align}
Jacobi 恒等式の証明は少し煩雑なので、別の記事にまとめました！
まとめ
この記事では、Poisson 括弧の定義と性質について紹介した。
Poisson 括弧の定義
\begin{align}
\{f,g\}\equiv\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)
\end{align}
Poisson 括弧の満たす性質
反対称性
\begin{align}
\{f,g\}=-\{g,f\}
\end{align}
線形性
\begin{align}
\{f,c_1g_1+c_2g_2\}=c_1\{f,g_1\}+c_2\{f,g_2\}\quad(c_{1,2}:\text{定数})
\end{align}
Leibniz 則
\begin{align}
\{f,g_1g_2\}=\{f,g_1\}g_2+g_1\{f,g_2\}
\end{align}
Jacobi 恒等式
\begin{align}
\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0
\end{align}
