【解析力学】Poisson括弧が満たす関係式「Jacobi恒等式」の証明

2025-02-05

\((q,p,t)\) の任意関数 \(f,g,h\) に対する Poisson 括弧は次の Jacobi 恒等式を満たす。

Jacobi 恒等式

\begin{align} \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0 \end{align}

この記事では、Poisson 括弧の満たす関係式の一つであるこの Jacobi 恒等式を証明する。

Poisson 括弧の定義

2 つの任意関数 \(f=f(q,p,t),g=g(q,p,t)\) に対して、Poisson 括弧を次で定義する。

\begin{align} \{f,g\}\equiv\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right). \label{poissonbracket} \end{align}

ここで、\(N\) は系の自由度である。

Jacobi 恒等式の証明

Poisson 括弧は次の Jacobi 恒等式を満たす。

Jacobi 恒等式

\begin{align} \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0 \end{align}

これを証明する。

準備

まず、\(N\) 個の正準座標 \(q_i\) と \(N\) 個の正準運動量 \(p_i\) を合わせて、\(2N\) 個の変数 \(\xi_I\) をつくる。

\begin{align} (\xi_1,\dots,\xi_N,\xi_{N+1},\dots,\xi_{2N})=(q_1,\dots,q_N,p_1,\dots,p_N). \end{align}

\(I=1,\dots,2N\) であることに注意する。（一方で、\(i=1,\dots,N\) である。）

この変数 \(\xi_I\) を用いると、Poisson 括弧 \eqref{poissonbracket} は、

\begin{align} \{f,g\}=\sum_{I,J=1}^{2N}\Omega_{IJ}\frac{\partial f}{\partial \xi_I}\frac{\partial g}{\partial \xi_J}=\Omega_{IJ}\partial_I f\partial_J g \label{poissonbracket2} \end{align}

とかける。

ここで、\(\partial_I\equiv\frac{\partial}{\partial \xi_I}\) と略記し、Einstein の規約を用いた。

また、\(\Omega_{IJ}\) は次で定義される量である。

\begin{align} \Omega_{i,N+j}=\delta_{ij}, \quad\Omega_{N+i,j} =-\delta_{ij}, \quad\Omega_{i,j} =\Omega_{N+i,N+j}=0\quad(i,j=1,\dots,N). \tag{5} \end{align}

これを行列表示すると、

\begin{align} \Omega= \begin{pmatrix} \boldsymbol{0} & \boldsymbol{1} \\ -\boldsymbol{1} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix} \tag{6} \end{align}

で表される \(2N\times 2N\) 行列となる。

ここで、\(\boldsymbol{0}\) は \(N\times N\) ゼロ行列、\(\boldsymbol{1}\) は \(N\times N\) 単位行列である。

証明における重要な性質として、\(\Omega\) が反対称性をもつことに注意する。

\begin{align} \Omega_{IJ}=-\Omega_{JI},\quad \Omega=-\Omega^{T}. \tag{7} \end{align}

特に、\(N=1\) のとき、\eqref{poissonbracket2} の右辺は、

\begin{align} &\Omega_{IJ}\partial_I f\partial_J g\notag\\ =&\sum_{I,J=1}^{2}\Omega_{IJ}\frac{\partial f}{\partial \xi_I}\frac{\partial g}{\partial \xi_J}\notag\\ =&\Omega_{12}\frac{\partial f}{\partial \xi_1}\frac{\partial g}{\partial \xi_2}+\Omega_{21}\frac{\partial f}{\partial \xi_2}\frac{\partial g}{\partial \xi_1}\notag\\ =&\frac{\partial f}{\partial q_1}\frac{\partial g}{\partial p_1}-\frac{\partial f}{\partial p_1}\frac{\partial g}{\partial q_1}\notag\\ =&\{f,g\} \end{align}

となり、確かに Poisson 括弧に等しいことがわかる。

本編

準備が終わったので、あとはひたすら計算するだけです！

まず、\(\{f,\{g,h\}\}\) を計算する。

\begin{align} &\{f,\{g,h\}\}\notag\\ =&\Omega_{IJ}\partial_I f\partial_J\{g,h\}\notag\\ =&\Omega_{IJ}\partial_I f\partial_J(\Omega_{KL}\partial_K g\partial_L h)\notag\\ =&\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I f\partial_J\partial_K g\partial_L h+\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I f\partial_K g\partial_J\partial_L h. \end{align}

１つ目の等号では、 \(f\) と \(\{g,h\}\) の Poisson 括弧を \eqref{poissonbracket2} を用いて書き直した。

２つ目の等号では、\(\{g,h\}\) を \eqref{poissonbracket2} でかいた。

３つ目の等号では、Leibniz 則（関数の積の微分法）を用いて、\(\partial_J\) を \(\partial_K g\) と \(\partial_L h\) にそれぞれ作用させた。

Jacobi 恒等式の左辺の残りの 2 項は、この結果において \(f,g,h\) を巡回置換させたものである。

よって、

\begin{align} &\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}\notag\\ =&\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I f\partial_J\partial_K g\partial_L h \tag{Y1}\\ &+\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I f\partial_K g\partial_J\partial_L h \tag{Y2}\\ &+\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I g\partial_J\partial_K h\partial_L f \tag{Y3}\\ &+\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I g\partial_K h\partial_J\partial_L f \tag{Y4}\\ &+\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I h\partial_J\partial_K f\partial_L g \tag{Y5}\\ &+\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I h\partial_K f\partial_J\partial_L g \tag{Y6} \end{align}

とかける。

この右辺の各項には関数 \(f,g,h\) がそれぞれ 2 階微分された項が２つずつあるので、それらを組にして考える。

つまり、(Y1) と (Y6)、(Y2) と (Y3)、(Y4) と (Y5) をそれぞれ組として考える。

結論としては、

\begin{align} \text{(Y6)}=-\text{(Y1)},\quad \text{(Y3)}=-\text{(Y2)},\quad \text{(Y5)}=-\text{(Y4)} \label{last} \end{align}

となり、Jacobi 恒等式が示される。

Jacobi 恒等式

\begin{align} \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0 \end{align}

\eqref{last} の計算は以下にまとめたので、必要な方のみ参照してください！

補足計算

まず、\(\text{(Y6)}=-\text{(Y1)}\)を示す。

\begin{align}
\text{(Y6)}
&=\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I h\partial_K f\partial_J\partial_L g \notag\\
&=\color{red}{\Omega_{LK}}\Omega_{IJ}\partial_L h\partial_I f\color{blue}{\partial_K\partial_J} g \notag\\
&=\color{red}{-\Omega_{KL}}\Omega_{IJ}\partial_L h\partial_I f\color{blue}{\partial_J\partial_K} g \notag\\
&=-\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I f\partial_J\partial_K g\partial_L h \notag\\
&=-\text{(Y1)}.
\end{align}

2 つ目の等号では、ダミー添字の付け替え \(K\to I\to L\to J\to K\) を行った。

3 つ目の等号では、\(\Omega\) の反対称性と偏微分が可換であることを用いた。

4 つ目の等号は順番を整理した。

次に、\(\text{(Y3)}=-\text{(Y2)}\) を示す。

\begin{align}
\text{(Y3)}
&=\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I g\partial_J\partial_K h\partial_L f \notag\\
&=\Omega_{KL}\color{red}{\Omega_{JI}}\partial_K g\color{blue}{\partial_L\partial_J} h\partial_I f \notag\\
&=\Omega_{KL}\color{red}{(-\Omega_{IJ})}\partial_K g\color{blue}{\partial_J\partial_L} h\partial_I f \notag\\
&=-\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I f\partial_K g\partial_J\partial_L h \notag\\
&=-\text{(Y2)}.
\end{align}

2 つ目の等号では、ダミー添字の付け替え \(K\to J\to L\to I\to K\) を行った。

3, 4 つ目の等号では先ほどと同じ操作をした。

最後に、\(\text{(Y5)}=-\text{(Y4)}\) を示す。

\begin{align}
\text{(Y5)}
&=\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I h\partial_J\partial_K f\partial_L g \notag\\
&=\Omega_{KL}\color{red}{\Omega_{JI}}\partial_K h\color{blue}{\partial_L\partial_J} f\partial_I g \notag\\
&=\Omega_{KL}\color{red}{(-\Omega_{IJ})}\partial_K h\color{blue}{\partial_J\partial_L} f\partial_I g \notag\\
&=-\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I g\partial_K h\partial_J\partial_L f \notag\\
&=-\text{(Y4)}.
\end{align}

2 つ目の等号では、ダミー添字の付け替え \(K\to J\to L\to I\to K\) を行った。

3, 4 つ目の等号では先ほどと同じ操作をした。

これで補足計算を終わります！