\((q,p,t)\) の任意関数 \(f,g,h\) に対する Poisson 括弧 は次の Jacobi 恒等式を満たす。
この記事では、Poisson 括弧の満たす関係式の一つであるこの Jacobi 恒等式を証明する。
Poisson 括弧の定義
2 つの任意関数 \(f=f(q,p,t),g=g(q,p,t)\) に対して、Poisson 括弧を次で定義する。
ここで、\(N\) は系の自由度である。
Jacobi 恒等式の証明
Poisson 括弧 は次の Jacobi 恒等式を満たす。
これを証明する。
準備
まず、\(N\) 個の正準座標 \(q_i\) と \(N\) 個の正準運動量 \(p_i\) を合わせて、\(2N\) 個の変数 \(\xi_I\) をつくる。
\(I=1,\dots,2N\) であることに注意する。(一方で、\(i=1,\dots,N\) である。)
この変数 \(\xi_I\) を用いると、Poisson 括弧 \eqref{poissonbracket} は、
とかける。
ここで、\(\partial_I\equiv\frac{\partial}{\partial \xi_I}\) と略記し、Einstein の規約を用いた。
また、\(\Omega_{IJ}\) は次で定義される量である。
これを行列表示すると、
で表される \(2N\times 2N\) 行列となる。
ここで、\(\boldsymbol{0}\) は \(N\times N\) ゼロ行列、\(\boldsymbol{1}\) は \(N\times N\) 単位行列である。
証明における重要な性質として、\(\Omega\) が反対称性をもつことに注意する。
特に、\(N=1\) のとき、\eqref{poissonbracket2} の右辺は、
となり、確かに Poisson 括弧に等しいことがわかる。
本編

準備が終わったので、あとはひたすら計算するだけです!
まず、\(\{f,\{g,h\}\}\) を計算する。
1つ目の等号では、 \(f\) と \(\{g,h\}\) の Poisson 括弧を \eqref{poissonbracket2} を用いて書き直した。
2つ目の等号では、\(\{g,h\}\) を \eqref{poissonbracket2} でかいた。
3つ目の等号では、Leibniz 則(関数の積の微分法)を用いて、\(\partial_J\) を \(\partial_K g\) と \(\partial_L h\) にそれぞれ作用させた。
Jacobi 恒等式の左辺の残りの 2 項は、この結果において \(f,g,h\) を巡回置換させたものである。
よって、
とかける。
この右辺の各項には関数 \(f,g,h\) がそれぞれ 2 階微分された項が2つずつあるので、それらを組にして考える。
つまり、(Y1) と (Y6)、(Y2) と (Y3)、(Y4) と (Y5) をそれぞれ組として考える。
結論としては、
となり、Jacobi 恒等式が示される。



\eqref{last} の計算は以下にまとめたので、必要な方のみ参照してください!
補足計算
まず、\(\text{(Y6)}=-\text{(Y1)}\)を示す。
\begin{align}
\text{(Y6)}
&=\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I h\partial_K f\partial_J\partial_L g \notag\\
&=\color{red}{\Omega_{LK}}\Omega_{IJ}\partial_L h\partial_I f\color{blue}{\partial_K\partial_J} g \notag\\
&=\color{red}{-\Omega_{KL}}\Omega_{IJ}\partial_L h\partial_I f\color{blue}{\partial_J\partial_K} g \notag\\
&=-\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I f\partial_J\partial_K g\partial_L h \notag\\
&=-\text{(Y1)}.
\end{align}
2 つ目の等号では、ダミー添字の付け替え \(K\to I\to L\to J\to K\) を行った。
3 つ目の等号では、\(\Omega\) の反対称性と偏微分が可換であることを用いた。
4 つ目の等号は順番を整理した。
次に、\(\text{(Y3)}=-\text{(Y2)}\) を示す。
\begin{align}
\text{(Y3)}
&=\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I g\partial_J\partial_K h\partial_L f \notag\\
&=\Omega_{KL}\color{red}{\Omega_{JI}}\partial_K g\color{blue}{\partial_L\partial_J} h\partial_I f \notag\\
&=\Omega_{KL}\color{red}{(-\Omega_{IJ})}\partial_K g\color{blue}{\partial_J\partial_L} h\partial_I f \notag\\
&=-\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I f\partial_K g\partial_J\partial_L h \notag\\
&=-\text{(Y2)}.
\end{align}
2 つ目の等号では、ダミー添字の付け替え \(K\to J\to L\to I\to K\) を行った。
3, 4 つ目の等号では先ほどと同じ操作をした。
最後に、\(\text{(Y5)}=-\text{(Y4)}\) を示す。
\begin{align}
\text{(Y5)}
&=\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I h\partial_J\partial_K f\partial_L g \notag\\
&=\Omega_{KL}\color{red}{\Omega_{JI}}\partial_K h\color{blue}{\partial_L\partial_J} f\partial_I g \notag\\
&=\Omega_{KL}\color{red}{(-\Omega_{IJ})}\partial_K h\color{blue}{\partial_J\partial_L} f\partial_I g \notag\\
&=-\Omega_{IJ}\Omega_{KL}\partial_I g\partial_K h\partial_J\partial_L f \notag\\
&=-\text{(Y4)}.
\end{align}
2 つ目の等号では、ダミー添字の付け替え \(K\to J\to L\to I\to K\) を行った。
3, 4 つ目の等号では先ほどと同じ操作をした。



これで補足計算を終わります!
まとめ
この記事では、Poisson 括弧が満たす関係式である Jacobi 恒等式を示した。